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佛教与数学

本文作者: 10年前 (2008-07-30)

数学是计算数量、空量(空间)、时量(时间)之学。数量的计算,好比二加二等于四;空量的计算,如…

    数学是计算数量、空量(空间)、时量(时间)之学。数量的计算,好比二加二等于四;空量的计算,如形体的几何学;时量的计算,即过去、现在、未来的时间累计。但是,在空量(空间)和时量(时间)的计算上,还是离开不了数量,所以现代人就综合称之为数学。

    数学的萌芽是人类思想进化的结果,其与人类的生活关系十分密切,举凡我们一切的思想、言说,都是用推比来觉知的,而推比的首要工具就是数量,否则我们既无法求得觉知,也无法运用思想与言说。

    数学与佛教的关系也是密不可分,因为人活在世界上,离开不了时间、空间、人间等三者的关系。佛教为了阐明宇宙人生的真理,自然脱离不了对时空及人事物的介绍,因此佛经中处处可见带有数字的佛教名词,例如:一心、二门、三界、四谛、五蕴、六度、七圣财、八正道、九品莲花、十方法界、十二因缘、五位百法、八万四千法门、十万亿佛土等。《增一阿含经》就是以数字为核心,再加以解说佛教名词的经典,《法集名数经》也是列举法数的经典。唐代李师政编《法门名义集》,明代一如编《大明三藏法数》等,都是蒐集法数的著作,可见数学是佛教用来诠释教义的重要工具。

   
佛典中的数学

    数学中既然分有数量、空量、时量,今就佛学上的说法加以一一解释如下:

   
一、数量单位

    中国传统计算数量是采十进位,共计为:一、十、百、千、万、亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载等单位。实际上,现在“亿”以上都是由万数来表达,比如万、百万、千万等,亿兆的数量名称已不多用,京、垓、秭、壤更是少人使用。
 
    不但中国如此,就是西洋的计数,实际上使用的也不过六、七位。佛教各经论中,计算数量多用洛叉(亿)、俱胝(京)、阿僧祗等,实已超过常用的数位。在大小乘的论典中,以及《佛所行赞》、《法华经》、《华严经》等,虽然计算数法及数目的次序并不一致,但综合来看,还是一般十进的加法与倍进的乘法。

    佛经上的数量说明有三种:一、是代表初期小乘佛学的上座部说;二、是代表后期小乘的《俱舍论》说;三、是代表大乘学的《华严经》说。

    初期的原始佛教,有上座部与大众部之分,今日锡兰、缅甸、暹罗所传的佛教,就属上座部。上座部对于数量的说法是用十进位,共有十六位。此十六位数量并不是佛学所特有的,是古来印度相传的计算方法,今列表如下:

    十个十等于一百

    十个百等于一千

    十个千等于一万

    十个万等于一洛叉(亿)

    十个洛叉等于一大洛叉(兆)

    十个大洛叉等于一俱胝(京)

    十个俱胝等于一额部昙(垓)

    十个额部昙等于一钵昙摩

    十个钵昙摩等于一大阿庾多

    十个阿庾多等于一那庾多

    十个那庾多等于一大钵昙摩

    十个大钵昙摩等于一钵罗庾多

    十个钵罗庾多等于一三慕达罗(正)

    十个三慕达罗等于一末陀(载)

    十个末陀等于一大矜羯罗

    十个大矜羯罗等于一频跋罗

    世界各国通用的数字,虽然至兆即止,但文化是发达进步的,佛教的学者们觉得这些数字还不够用,所以又有《俱舍论》五十二位数的产生。

   《俱舍论》五十二数也是十进位,最高的五十二位数是阿僧祗。在《华严经》中也曾说到阿僧祗,并以一阿僧祗为单位,渐次转倍,至不可说不可说,即:阿僧祗、无量、无边、无等、不可数、不可称、不可思、不可量、不可说、不可说不可说,称为十大数。十大数的计数法为:阿僧祗乘以阿僧祗,得阿僧祗转;阿僧祗转乘以阿僧祗转,得无量,以下类推。

   《华严经》所说虽然令人不可思议,但据科学家们的研究:光的速率为一八六二八○哩,一秒钟内能环绕地球七周半;又宇宙直径为一百万万光年,其数目是一的后面有八十三个零。如果这个数字不用佛经中的数目表明,则一之下圈八十三个零的数量,又将如何称呼呢?即使以《俱舍论》所说的五十二位,也尚嫌不足。因此,只有再进一步探究《华严经》所说的数位了。

   《华严经》所说的数量位共有一百二十六位,俱胝以前是世俗的数位,都是十进的加法,俱胝以后,为一般科学者研究的数位,依此可以渐渐的了解佛陀所证知的数位。唯佛陀所能解的数学,从阿僧祗起,共有二十位,这是用倍倍相乘的进法,其数之多,穷于计算。又因为虚空无尽,世界无尽,众生无尽,幸赖佛陀的智慧剖析,使一切广阔精微各有其名称。所以,唯有佛陀的智慧才能穷究数学之源。

   
二、空量单位

    在数学里,计算空间点线面积的是几何学,佛学里并不曾缜密的另创新说,不过,在大乘的学说中,对于空间,佛陀曾泛言佛刹与微尘数,对于佛刹,则论及十方无量无边的世界;对于微尘,并未详言微尘的数量,以及微尘如何积聚而成佛刹。这是因为大乘以有情的器世间等,都是幻象不真,所以只观空而不分析;而小乘是以分析观空,所以对极微曾加以分析。当初印度的佛学者,对万物起源的研究,认为是地水火风四大种假因缘所组成,但四大种也必有其出发点,以形成单位,然后山河大地才不致等于龟毛兔角。这种假想分析证明法,是说四大迭分迭细,至于极渺小的地位,科学经验不能觉知,物理手续不能分割,此即名之为极微。近代科学家以物理的分析为最细小的是原子、电子,但电子还可分析,此即佛教所说的极微。

    今以小乘《俱舍论》为例说明,以七个极微为一个微量,积七个微量为一个金尘量,积七金尘为一水尘量,积七水尘为一兔毛尘量,积七兔毛尘为一羊毛尘量,积七羊毛尘为一牛毛尘量,积七牛毛尘为一隙游尘量,积七隙游尘为虮,七虮为一虱,七虱为穬麦,七麦为指节,三节为一指。

    经常常以微尘比喻量极小,若一个佛刹或一个国土,究以多少微尘集合而成,以我们普通的数法,那是难以计算的。

    佛经里讲到空间的距离,依印度习俗都是用“由旬”,由旬,梵语是踰缮那,华言限量,分有三等,上等由旬八十华里,中等由旬六十华里,下等由旬四十华里。佛经里对于空间的距离,或八万四千由旬,或十万亿佛土,如是之说是将抽象概念变为具体数字而已。

    三、时量单位

    一瞬,为世间计算时间最小的单位;把时间延伸的是生物学者,他们的生物纪一说都是若干万年;地质学者更有较长的地层纪,他们一说都是几千万年;最长的是天文学者的天体纪,一说都是若干万万年。虽然如此,与佛陀所说相比较,相差仍然甚远。

    佛学中的时量,分小时、中时、大时,以《俱舍论》的说法略解如下:

    小时量的计算:“刹那”是时间的最小单位。据《俱舍论》卷十二记载,一百二十刹那为一怛刹那,六十怛刹那为一腊缚,三十腊缚为一牟呼栗多,三十牟呼栗多为一昼一夜,三十昼夜为一月,总十二月为一年,于一年中分为三际,即寒、热、雨各有四月。又说:壮士一弹指顷,有六十五刹那。《仁王经.观空品》载,九十刹那为一念,一刹那有九百生灭。而《往生论注》则说一刹那有一百零一生灭。

    实在说来,刹那的真量,除佛陀外,余皆不能尽知,因为能知的心念粗细悬殊,所知的时量也就千差万别。

    中时量的计算:佛经中一个昼夜分为六时:昼三时,即上日(辰巳)、中日(午未)、下日(申酉);夜三时,即初夜(戌亥)、中夜(子丑)、后夜(寅卯)。从昼夜往上推,则为:

    十昼夜为一月

    四个月为一季(我国三个月为一季,一年为春夏秋冬四季。印度每年分寒季、雨季、热季,与他处不同)

    三季为一年

    一百年为一世(我国三十年为一世)

    五百年为一变(此可见于佛陀说法初五百年如何,后五百年如何)

    一千年为一化(此可见佛陀说正法千年、像法千年)

    一万二千年为一周(此可见佛陀说正法、像法、末法共为一万二千年)

    大时量的计算:佛学中说大时量常用“劫”字,劫就是大时的意思。分小劫、中劫、大劫三种。从人寿十岁算起,每过一百年增加一岁,加到八万四千岁,然后再从八万四千岁每隔一百年减一岁,减到十岁,总共一千六百八十万年称为一小劫。以此往上推,则为:

    一个小劫为一千六百八十万年

    二十个小劫为一个中劫

    四个中劫为一个大劫,一个大劫中有成(世界生长期)、住(世界壮盛期)、坏(世界老死期)、空(世界灭无期),如此成住坏空相续循环一次为一大劫。

    七个大劫(亦名火坏劫)为一水坏劫

    七个水坏劫为一风坏劫

    以这样计算,一个风坏劫中有七水劫,四十九火劫,一百九十六中劫,三千九百二十小劫,六百五十八万万五千六百万年。佛经里常说的劫,大都指的这风水火的劫而言。经里亦曾说到佛陀三大阿僧祗劫修行成佛的故事,在三大阿僧祗劫中,忍人所不能忍,行人所不能行,然后方于菩提树下成等正觉。这种时量之长,与《弥陀经》中说“阿弥陀佛成佛以来,于今十劫”的时量一样难以计算。

  
  佛教对数学的看法

    一、佛教看数量

  “一个不是少,万亿不是多。一就是多,多不离一。”

    对佛教没有研究的人,见了这句话,一定大惑不解,然而,这的确是一种无法加以否认的真理。

    试以“一个”而言:“我”是一个;如果我在教室中讲话,这间教室也是一个;这间教室在台北,台北也只有一个;台北在台湾,台湾也只有一个;台湾在中国,中国也是一个;中国是世界的一环,世界也是一个;世界在虚空中,然而虚空也是一个。宇宙中没有两个同样的东西,然而这些“一个”,究竟那“一个”多,那“一个”少呢?仔细思量,“一个”实不为少。

    反之,万亿也在“一个”之中,也不能说它多。因为一是不离多,多是不离一的。在佛教中,说万物相关,万物一体。一与多,相容相入,一就是多,多也就是一。所以说一中含多,多中含一;一个不是少,亿万不是多,一与多是表里的关系,并没有特别的两样。

   
二、佛教看空量

  “大中有小,小中含大。远不在天边,近不在眼前。”

研究佛教的人,都知道螺蛳壳内,诸佛菩萨可以作道场,这是多么不可思议的境界。佛于一毫端中,光明能周遍法界,这又是多么难以凡情测度的事情。然而,这绝不是异想天开的神话,的确是如此的。

    今以人身上的细胞来说,细胞若把我们人身看成是地球,而人间的地球对细胞而言,即成为不可知的宇宙。如果拿色究竟天的有情来说,他们身高十万踰缮那,大于地球好多倍,我们人类之渺小甚于彼身上的细胞。又如:一只乌龟每小时可走七公尺,在同一时间内,一只兔子可跑六十五公里。人类认为狭小的花园,一只蚂蚁走进去可能找不到家。如此大小相差,长短距离,广狭厚薄,以及南北东西上下之量,实在很难有一定的说法。

    佛说:一微尘中有无数刹(一刹即为亿万太阳系),无数刹中有无数佛,一一佛身各毛孔中有无数刹,刹中佛身,佛身毛孔,毛孔中刹,重重无尽,如此,则极小的极微又不知大于太阳系多少倍了。由此可知,我们今日所知的空量,皆是此世界有情幻觉中的幻相,因为有情界各有各的不同空量。例如:我们从中国到日本,相隔数千里,即使坐喷射客机,也要几个小时;而西方极乐世界离此十万亿佛土,一念之中即可往生;由此可知空量的距离,近不在眼前,远亦不在天边。

   
三、佛教看时量

  “促一刹那而非短,延无量劫而非长。”

    我们从世间的有情界来看时间,所谓长短久暂,延促相差,都是幻觉不真。如亲朋好友相聚欢谈的时候,数小时等于一瞬;怨家对头相逢一起的当儿,几分钟也好似历时数年。蜉蝣不知昼夜,朝生夕死;彭祖八百岁,几经沧桑;他们都觉得同样的度过了一生,生命的久暂本来都是幻觉而不实在的。人间的五百年,忉利天才一昼夜;忉利天五百年,夜摩天才一昼夜。这样一算,人间的一日,在夜摩天尚不及一秒;人间的一秒,在朝生夕死的蜉蝣,可能当作一昼夜,如此,时量实无标准可言。

    娑婆世界的一劫,于阿弥陀佛的极乐世界才一昼夜;极乐世界的一劫,于金刚坚佛刹的袈裟幢世界才一昼夜;袈裟幢世界的一劫,于善胜光明莲花开敷佛刹的不退转音声轮才一昼夜;不退转音声轮世界的一劫,于法幢佛刹的离垢世界才一昼夜;离垢世界的一劫,于狮佛刹的善灯世界才一昼夜;善灯世界的一劫,于光明幢佛刹的妙光明世界才一昼夜;妙光明世界的一劫,于法光明莲花开敷佛刹的难超过世界才一昼夜;难超过世界的一劫,于一切神通光明佛刹的庄严慧世界才一昼夜;庄严慧世界的一劫,于月智佛刹的镜光明世界才一昼夜;从镜光明世界,如是乃至无数佛刹最后的一世界一劫,于贤胜佛刹的胜莲花世界才一昼夜。从小处来看,我们娑婆世界的一劫,在胜莲花世界里有如一刹那;从大处来看,胜莲花世界的一刹那,正如娑婆世界的一大劫。如此延促相差,可知我们这世界的时量是有情类幻觉中的假名了。

    一只蚊子,在一秒钟内,能将他的翅膀振动五百至六百次,但人类即使是一个最优良的打字员,在一秒钟内顶多能按六到七下键盘,同样的时间,却有如此的悬殊,若不明白这都是有情世界的幻相,那就永远不能认识时间。

    经云:“心包太虚,量周沙界。”又说法身“遍虚空,尽法界,竖穷三际,横遍十方”,乃至“一念三千”,一心具足三千大千世界等,这些都代表佛教对时空数的宏观。尤其经典中诠释数量、时量、空量有所谓“一个不算少,万亿不算多”、“微尘不算小,虚空不算大”、“刹那不算短,劫波不算长”的理念,在在说明佛陀对数学的透析,已非一般的数学研究者所能比拟。佛教的数学其实已经大大超出数据的功能,它不仅开展我们的思想领域,扩大我们的生命价值,尤其启示我们对世间生活应有的认识:在数量上不必求多,在空量上不必求大,在时量上不必求长。因为,外在的虚空,一个人穷其一生所能到达的,只不过如微尘般而已。一个人即使能活一百二十岁,但以无始无终的阿僧祗劫来看,也不过如朝露般短暂。重要的是,要能体会心内的空间,开阔心内的空间。心内有了宽阔的空间,就能包容宇宙虚空。

    由此可见,佛教的数学观对人生具有极深远的启迪作用。

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